כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
אופרטורים\fbox{\thepage}
1 דינמיקה של אופרטור
1.1 הגדרות
נקרא להעתקה ליניארית ממ"ו \(V\) לעצמו (\(f:V\rightarrow V\)) בשם אופרטור1במקומות אחרים קוראים לכל העתקה ליניארית בשם "אופרטור", גם אם היא בין שני מרחבים וקטוריים שונים., נסמן ב-\(\MKend\left(V\right)\) את מרחב האופרטורים מ-\(V\) לעצמו2ראינו בקורס הקודם שמדובר במרחב וקטורי..
הגדרה 1.1. מערכת ליניארית יהיו \(V\) מ"ו ו-\(f:V\rightarrow V\) אופרטור על \(V\), הזוג \(\left(V,f\right)\) נקרא מערכת ליניארית.
תהא \(\left(V,f\right)\) מערכת ליניארית מעל לשדה \(\MKfield\).
בכל מקום אחר בפירוש של \(f^{n}\left(x\right)\) הוא \(\left(f\left(x\right)\right)^{n}\), כלומר העלאה בחזקה ולא הרכבה, תכף נראה למה בקורס זה נוח לנו להגדיר אחרת.
\(\clubsuit\)
נזכור שהוכחנו שהרכבה וסכום של העתקות ליניאריות וכן כפל של ה"ל בסקלר הם העתקות ליניאריות ולכן הצבה של אופרטור בפולינום היא אופרטור על אותו מרחב (ודאי שגם הצבה של מטריצה בפולינום היא מטריצה מאותו סדר גודל).
\(\clubsuit\)
בקורס הקודם סימנו מטריצה מייצגת של ה"ל בצורה \(\left[f\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\) עבור בסיסים \(\MKclb\) של התחום ו-\(\MKclc\) של הטווח, בקורס הזה נתעסק בעיקר באופרטורים (תחום וטווח זהים) ובד"כ גם נרצה לייצג את המרחב באמצעות בסיס מסוים, לכן נסמן את \(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\) ע"י \(\left[f\right]_{\MKclb}\).
\(\clubsuit\)
הצבה של אופרטור בפולינום מדרגה \(0\) הוא תמיד כפולה של העתקת הזהות, פעמים רבות נסמן את \(\lambda\left(f\right)=\lambda\cdot f^{0}=\lambda\cdot\MKid_{V}\) (כאשר \(\lambda\) הוא פולינום) ע"י \(\lambda\) בלבד ועל הקורא יהיה מוטל להבין מן ההקשר שבזה מדובר.
\(\clubsuit\)
הגדרה זו תופסת גם עבור תתי-מרחבים וקטוריים וכמובן שבד"כ יעניינו אותנו תמ"וים שמורים ולא סתם קבוצות.
\(\clubsuit\)
\(V\) ו-\(\left\{ 0_{V}\right\} \) מקיימים תכונות רבות באופן טריוויאלי (הם שמורים תחת כל אופרטור לדוגמה) ולכן במקרים רבים (בעיקר כשנרצה למעט אותם) נקרא להם תתי-מרחבים טריוויאליים.
\(\clubsuit\)
אם \(V\) נ"ס וניתן להציג אותו כסכום ישר של תמ"וים שמורים תחת \(f\) אז ההצגה המטריציאלית של \(f\) בשרשור בסיסים שלהם היא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים.
\(\clubsuit\)
כדי להוכיח את הטענה נזכר שלכל \(T_{1},T_{2}:V\rightarrow W\), \(T_{3}:W\rightarrow U\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left[T_{1}+T_{2}\right]_{C}^{B} & =\left[T_{1}\right]_{C}^{B}+\left[T_{2}\right]_{C}^{B}\\
\left[\lambda\cdot T_{1}\right]_{C}^{B} & =\lambda\cdot\left[T_{1}\right]_{C}^{B}\\
\left[T_{3}\circ T_{1}\right]_{D}^{B} & =\left[T_{3}\right]_{D}^{C}\cdot\left[T_{1}\right]_{C}^{B}
\end{align*}\]כאשר \(V\), \(W\) ו-\(U\) הם מ"ו נ"ס מעל לשדה \(\MKfield\), \(B\), \(C\) ו-\(D\) הם בסיסים סדורים שלהם ו-\(T_{1}\), \(T_{2}\) ו-\(T_{3}\) הן העתקות ליניאריות.
\(\clubsuit\)
קל לראות שהטענה נכונה עבור מונומים ואז מהליניאריות של \(c\cdot f^{n}\) (הצבה של \(f\) במונום) תנבע הטענה עבור פולינומים.
הגדרה 1.2. הצבה של אופרטור/מטריצה בפולינום יהיו \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ו-\(P\left(x\right):=\sum_{i=0}^{m}a_{i}\cdot x^{i}\in\MKfield\left[x\right]\), נגדיר \(P\left(f\right):=\sum_{i=0}^{m}a_{i}\cdot f^{i}\) ונקרא ל-\(P\left(f\right)\)ההצבה של\(f\)בפולינום\(P\), כמו כן נגדיר \(P\left(A\right):=\sum_{i=0}^{m}a_{i}\cdot A^{i}\) ונקרא ל-\(P\left(A\right)\)ההצבה של המטריצה\(A\) בפולינום \(P\).
הגדרה 1.3. מסלול יהי \(v\in V\), נגדיר \(O_{f}\left(v\right):=\left\{ f^{k}\left(v\right)\mid k\in\MKnatural_{0}\right\} \) ונקרא ל-\(O_{f}\left(v\right)\)המסלול של \(v\) תחת \(f\).
הגדרה 1.4. מסילה יהי \(v\in V\), הסדרה \(\left(f^{k}\left(v\right)\right)_{k=0}^{\infty}\) תקרא המסילה של \(v\) תחת \(f\).
הגדרה 1.5. מרחב ציקלי יהי \(v\in V\), נסמן \(Z_{f}\left(v\right):=\MKspan\left(O_{f}\left(v\right)\right)\) ונקרא ל-\(Z_{f}\left(v\right)\)מרחב ציקלי של \(v\) תחת \(f\).
הגדרה 1.6. אם קיים \(v\in V\) כך ש-\(Z_{f}\left(v\right)=V\) אז נאמר ש-\(v\) הוא וקטור ציקלי ביחס ל-\(f\) וש-\(V\) הוא ציקלי ביחס ל-\(f\) באמצעות \(v\).
הגדרה 1.7. קבוצה שמורה תהא \(S\subseteq V\), נאמר ש-\(S\) שמורה/אינווריאנטית תחת \(f\)3במהלך הקורס נתקלנו גם בביטוי "\(f\)-שמורה" שאינו נכון מבחינה לשונית. אם מתקיים \(f\left(S\right)\subseteq S\), כלומר \(\MKim\left(f\mid_{S}\right)\subseteq S\).
תהא \(\left(V,f\right)\) מערכת ליניארית מעל לשדה \(\MKfield\).
טענה 1.8. יהי \(v\in V\), מתקיים \(Z_{f}\left(v\right)=\left\{ \left[P\left(f\right)\right]\left(v\right)\mid P\in\MKfield\left[x\right]\right\} \).
למה 1.9. יהי \(v\in V\), \(O_{f}\left(v\right)\) ו-\(Z_{f}\left(v\right)\) שמורים תחת \(f\).
משפט 1.10. יהי \(v\in V\) ויהי \(W\subseteq V\) תמ"ו שמור תחת \(f\) כך ש-\(v\in W\), מתקיים \(Z_{f}\left(v\right)\subseteq W\); כלומר התמ"ו הציקלי של וקטור הוא התמ"ו השמור המינימלי ביחס להכלה.
טענה 1.11. יהיו \(U,W\subseteq V\) תמ"וים שמורים תחת \(f\), \(U\cap W\) ו-\(U+W\) גם הם שמורים תחת \(f\).
טענה 1.12. אם \(V\) נ"ס ו-\(\MKclb\) הוא בסיס סדור שלו אז לכל פולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים \(P\left(\left[f\right]_{\MKclb}\right)=\left[P\left(f\right)\right]_{\MKclb}\).
טענה 1.13. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, \(W\) שמור תחת \(f\) אם"ם \(W\) שמור תחת \(P\left(f\right)\) לכל פולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\).
משפט 1.14. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיים \(P\left(f\right)\circ G\left(f\right)=\left(P\cdot Q\right)\left(f\right)\).
הוכחה. יהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
P\left(x\right) & =\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}\\
G\left(x\right) & =\sum_{j=0}^{m}b_{j}\cdot x^{j}
\end{align*}\]מהליניאריות של \(f\) נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
P\left(f\right)\circ G\left(f\right) & =P\left(f\right)\circ\left(\sum_{j=0}^{m}b_{j}\cdot f^{j}\right)=\sum_{j=0}^{m}b_{j}\cdot\left(P\left(f\right)\circ\left(f^{j}\right)\right)\\
& =\sum_{j=0}^{m}b_{j}\cdot\left(\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot f^{i}\right)\circ\left(f^{j}\right)\right)=\sum_{j=0}^{m}b_{j}\cdot\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot\left(f^{i}\circ f^{j}\right)\right)\\
& =\sum_{j=0}^{m}b_{j}\cdot\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot f^{i+j}\right)=\sum_{j=0}^{m}\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot b_{j}\cdot f^{i+j}\right)\\
& =\sum_{i=0}^{n}\left(\sum_{j=0}^{m}a_{i}\cdot b_{j}\cdot f^{i+j}\right)=\sum_{k=0}^{n+m}\left(\sum_{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\right)\cdot f^{k}=\left(P\cdot G\right)\left(f\right)
\end{align*}\]
מסקנה 1.15. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיים \(P\left(f\right)\circ G\left(f\right)=G\left(f\right)\circ P\left(f\right)\).
משפט 1.16. יהיו \(v_{1},v_{2}\in V\), תת-המרחב \(Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\) הוא מרחב ציקלי ביחס ל-\(f\).
הוכחה. ראשית, אם \(Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)=\left\{ 0_{V}\right\} \) אז ודאי שמדובר במרחב ציקלי שכן \(\left\{ 0_{V}\right\} =Z_{f}\left(0_{V}\right)\), א"כ נעסוק במקרה שבו \(Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\neq\left\{ 0_{V}\right\} \). נתבונן בקבוצת הפולינומים המעתיקים את \(v_{1}\) אל \(Z_{f}\left(v_{2}\right)\) באמצעות \(f\):\[
I:=\left\{ P\in\MKfield\left[x\right]:P\left(f\right)v_{1}\in Z_{f}\left(v_{2}\right)\right\}
\]מכיוון ש-\(Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\neq\left\{ 0_{V}\right\} \) בהכרח קיים בקבוצה פולינום שאינו פולינום האפס, יהי \(P\in I\) פולינום שדרגתו היא הנמוכה ביותר ב-\(I\) מלבד פולינום האפס ונסמן \(v:=P\left(f\right)v_{1}\). מהגדרה \(v\in Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\) ומכיוון שמדובר במרחב שמור תחת \(f\) נובע ממשפט 1.3 ש-\(Z_{f}\left(v\right)\subseteq Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\). יהי \(u\in Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\), א"כ קיים \(G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\left(f\right)v_{1}=u\), אך מהגדרה \(u\in Z_{f}\left(v_{2}\right)\) ולכן אותו \(G\) שייך ל-\(I\). יהי \(G\) כנ"ל ונחלק את \(G\) ב-\(P\) עם שארית: יהיו \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G=Q\cdot P+R\) ו-\(\deg R<\deg P\), נשים לב לכך שמהגדרה \(I\) הוא אידאל ולכן \(R=G-Q\cdot P\in I\) ומהגדרת \(P\) נקבל ש-\(R\) הוא פולינום האפס, כלומר \(G=Q\cdot P\).\[
\Rightarrow u=G\left(f\right)v_{1}=\left(Q\cdot P\right)\left(f\right)v_{1}=\left(Q\left(f\right)\circ P\left(f\right)\right)v_{1}=Q\left(f\right)v\in Z_{f}\left(v\right)
\]\(u\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן ש-\(Z_{f}\left(v\right)\supseteq Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\) ולכן \(Z_{f}\left(v\right)=Z_{f}\left(v_{1}\right)\cap Z_{f}\left(v_{2}\right)\).
\(\:\)
2 פולינום מינימלי של וקטור ושל קבוצת וקטורים
2.1 הגדרות
יהי \(V\) מ"ו נ"ס4למעשה הסיבה היחידה לדרישה ש-\(V\) נ"ס היא כדי שיהיה ברור שהפולינום המינימלי קיים, ניתן להחליף את הדרישה הזו בדרישה שהמסלול של של הווקטור יהיה תלוי ליניארית (כשמדובר בפולינום מינימלי של וקטור) או בדרישה זו על כל הווקטורים בקבוצה/הבסיס שלה (כשמדובר בפולינום מינימלי של קבוצה). מעל לשדה \(\MKfield\) ויהי \(f\) אופרטור על \(V\).
למה 2.1. יהי \(0_{V}\neq v\in V\), א"כ קיים \(n\in\MKnatural\) מינימלי כך ש-\(\left(v,f\left(v\right),f^{2}\left(v\right),\ldots,f^{n}\left(v\right)\right)\) תלויה ליניארית ועבור אותו \(n\) קיימים \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1}\in\MKfield\) יחידים כך ש-\(f^{n}\left(v\right)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot f^{k}\left(v\right)\).
הגדרה 2.2. בסימוני הלמה שלעיל: נשים לב ש-\(\left(v,f\left(v\right),f^{2}\left(v\right),\ldots,f^{n-1}\left(v\right)\right)\) הוא בסיס של \(Z_{f}\left(v\right)\), בסיס זה נקרא הבסיס הציקלי של \(Z_{f}\left(v\right)\) ונסמן אותו ב-\(\MKclc_{f}\left(v\right)\).
הגדרה 2.3. פולינום מינימלי בסימוני הלמה שלעיל: נסמן \(\min_{v}\left(x\right):=x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}-a_{k}\cdot x^{k}\)5ראינו גם את הסימון \(\min_{v}^{f}\), שהרי הפולינום המינימלי מוגדר ע"י האופרטור. ונקרא ל-\(\min_{v}\)הפולינום המינימלי של \(v\) תחת \(f\).
\(\clubsuit\)
מהגדרה הפולינום המינימלי של וקטור האפס הוא \(1\), ובנוסף, וקטור האפס הוא הווקטור היחיד ש-\(1\) הוא הפולינום המינימלי שלו.
\(\clubsuit\)
המטריצה המלווה של \(\min_{v}\) היא \(\left[f\mid_{Z_{f}\left(v\right)}\right]_{\MKclc_{f}\left(v\right)}\).
הגדרה 2.6. נאמר שפולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\)מאפס וקטור\(v\) תחת \(f\) אם מתקיים \(P\left(f\right)v=0_{V}\), כמו כן נאמר ש-\(P\)מאפס קבוצה\(S\subseteq V\) תחת \(f\) אם לכל \(s\in S\) מתקיים \(\left[P\left(f\right)\right]\left(s\right)=0_{V}\).
טענה. נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(S\subseteq V\) קבוצת וקטורים, קיים פולינום מתוקן \(P\in\MKfield\left[x\right]\) יחיד המאפס את \(S\) תחת \(f\) ומקיים שלכל פולינום \(G\in\MKfield\left[x\right]\) המאפס את \(S\) תחת \(f\) מתקיים \(P\mid G\).
הגדרה 2.7. לאותו \(P\) שבטענה האחרונה נקרא הפולינום המינימלי של \(S\) ונסמן אותו ב-\(\min_{S}\)6ראינו גם את הסימון \(\min_{S}^{f}\), שהרי הפולינום המינימלי מוגדר ע"י האופרטור..
יהי \(V\) מ"ו נ"ס7למעשה הסיבה היחידה לדרישה ש-\(V\) נ"ס היא כדי שיהיה ברור שהפולינום המינימלי קיים, ניתן להחליף את הדרישה הזו בדרישה שהמסלול של של הווקטור יהיה תלוי ליניארית (כשמדובר בפולינום מינימלי של וקטור) או בדרישה זו על כל הווקטורים בקבוצה/הבסיס שלה (כשמדובר בפולינום מינימלי של קבוצה). מעל לשדה \(\MKfield\) ויהי \(f\) אופרטור על \(V\).
2.2 פולינום מינימלי של וקטור
טענה 2.8. יהי \(v\in V\) ויהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיים:
אם אחד משני הפולינומים הללו מאפס את \(v\) תחת \(f\) אז גם \(P\cdot G\) מאפס את \(v\) תחת \(f\).
אם שניהם מאפסים את \(v\) תחת \(f\) אז גם \(P+G\) מאפס את \(v\) תחת \(f\).
מסקנה 2.9. לכל \(v\in V\) ולכל \(w\in Z_{f}\left(v\right)\) מתקיים \(\min_{v}\left(f\right)w=0_{V}\).
טענה 2.10. לכל \(v\in V\) מתקיים \(\dim Z_{f}\left(v\right)=\deg\left(\min_{v}\right)\).
משפט 2.11. לכל \(v\in V\), לא קיים פולינום שדרגתו נמוכה מזו של \(\min_{v}\) והוא מאפס את \(v\) תחת \(f\) מלבד פולינום האפס, ובנוסף \(\min_{v}\) הוא הפולינום המתוקן היחיד המקיים זאת.
הוכחה. לא ייתכן שקיים פולינום המאפס את \(v\) תחת \(f\) ודרגתו נמוכה מזו של \(\min_{v}\) משום שאז נקבל צר"ל מתאפס לא טריוויאלי של \(\MKclc_{f}\left(v\right)\), ואם היה קיים פולינום מתוקן אחר שדרגתו זהה לשל \(\min_{v}\) והוא מאפס את \(v\) תחת \(f\) ואז גם פולינום ההפרש שלהם (שדרגתו נמוכה יותר) מאפס את \(v\) תחת \(f\).
מסקנה 2.12. יהי \(v\in V\) ויהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום המאפס את \(v\) תחת \(f\), מתקיים \(\min_{v}\mid P\).
\(\clubsuit\)
כדי להוכיח את הטענה נחלק את \(P\) ב-\(\min_{v}\) עם שארית (נסמן ב-\(Q\) את המנה וב-\(R\) את השארית), ומכאן שגם \(R=P-Q\cdot\min_{v}\) מאפס את \(v\) תחת \(f\) ולכן ממינימליות הדרגה של \(\min_{v}\) נקבל ש-\(R=0\); עוד נחזור לרעיון ההוכחה הזה בהמשך.
מסקנה 2.13. לכל \(v\in V\) ולכל \(w\in Z_{f}\left(v\right)\) מתקיים \(\min_{w}\mid\min_{v}\).
מסקנה 2.14. יהי \(v\in V\), אם \(\min_{v}\) אי-פריק (וממילא \(v\neq0_{V}\)) אז לכל \(0_{V}\neq w\in Z_{f}\left(v\right)\) מתקיים \(Z_{f}\left(w\right)=Z_{f}\left(v\right)\).
הוכחה. ממשפט 1.3 נובע ש-\(Z_{f}\left(w\right)\subseteq Z_{f}\left(v\right)\), מהעובדה ש-\(w\neq0_{V}\) נובע ש-\(\min_{w}\neq1\) ולכן \(\min_{w}=\min_{v}\), מטענה 2.3 נובע ש-\(\dim Z_{f}\left(w\right)=\dim Z_{f}\left(v\right)\) וממילא \(Z_{f}\left(w\right)=Z_{f}\left(v\right)\).
טענה 2.15. יהי \(v\in V\) כך ש-\(\min_{v}\) הוא פולינום פריק ויהיו \(P,Q\in\MKfield\left[x\right]\) פולינומים מתוקנים שאינם קבועים כך ש-\(\min_{v}=P\cdot Q\), נגדיר \(w:=P\left(f\right)v\); מתקיים \(w\neq0_{V}\) ו-\(\min_{w}=Q\).
הוכחה. מהגדרה \(Q\) מאפס את \(w\) תחת \(f\) ולכן \(\min_{w}\mid Q\), מצד שני \(P\cdot\min_{w}\) מאפס \(v\) תחת \(f\) ולכן \(P\cdot\min_{w}\mid P\cdot Q\) וממילא \(\min_{w}\mid Q\) שכן \(P\neq0\), מהעובדה ש-\(Q\) ו-\(\min_{w}\) מתוקנים ומחלקים זה את זה נובע שהם שווים.
משפט 2.16. יהי \(v\in V\) כך ש-\(\min_{v}\) הוא פולינום פריק ויהיו \(P,Q\in\MKfield\left[x\right]\) פולינומים מתוקנים שאינם קבועים וזרים זה לזה כך ש-\(\min_{v}=P\cdot Q\), נגדיר \(w:=P\left(f\right)v\) ו-\(u:=Q\left(f\right)v\); מתקיים:\[
Z_{f}\left(v\right)=Z_{f}\left(w\right)\oplus Z_{f}\left(u\right)
\]
הוכחה. מהעובדה ש-\(P\) ו-\(Q\) זרים זה לזה נובע שקיימים \(A,B\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(1=A\cdot P+B\cdot Q\), יהיו \(A\) ו-\(B\) כנ"ל ומכאן שמתקיים:\[\begin{align*}
v & =\left[1\left(f\right)\right]\left(v\right)=\left[\left(A\cdot P+B\cdot Q\right)\left(f\right)\right]\left(v\right)\\
& =\left[A\left(f\right)\circ P\left(f\right)\right]\left(v\right)+\left[B\left(f\right)\circ Q\left(f\right)\right]\left(v\right)\\
& =\left[A\left(f\right)\right]\left(w\right)+\left[B\left(f\right)\right]\left(u\right)
\end{align*}\]מכאן שלכל \(G\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים:\[\begin{align*}
G\left(v\right) & =\left[G\left(f\right)\circ A\left(f\right)\right]\left(w\right)+\left[G\left(f\right)\circ B\left(f\right)\right]\left(u\right)\\
& =\left[G\cdot A\left(f\right)\right]\left(w\right)+\left[G\cdot B\left(f\right)\right]\left(u\right)
\end{align*}\]כלומר \(G\left(v\right)\in Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) ולכן \(Z_{f}\left(v\right)=Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\). ע"פ טענה 2.3 מתקיים \(\dim Z_{f}\left(w\right)=\deg\left(\min_{w}\right)=\deg Q\) ו-\(Z_{f}\left(u\right)=\deg\left(\min_{u}\right)=\deg P\) ולכן ע"פ משפט הממדים מתקיים:\[\begin{align*}
\dim\left(Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)\right) & =\dim Z_{f}\left(w\right)+\dim Z_{f}\left(u\right)-\dim Z_{f}\left(v\right)\\
& =\deg Q+\deg P-\deg\left(P\cdot Q\right)\\
& =\deg Q+\deg P-\left(\deg Q+\deg P\right)=0
\end{align*}\]ומכאן ש-\(Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)=0_{V}\) ולכן \(Z_{f}\left(v\right)=Z_{f}\left(w\right)\oplus Z_{f}\left(u\right)\).
טענה 2.18. יהיו \(w,u\in V\) כך ש-\(Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)=\left\{ 0_{V}\right\} \) (כלומר \(Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) הוא סכום ישר) ונסמן \(v:=w+u\), מתקיים:
אם \(\gcd\left(\min_{w},\min_{u}\right)=1\) (כלומר \(\min_{w}\) ו-\(\min_{u}\) זרים זה לזה) אז \(Z_{f}\left(v\right)=Z_{f}\left(w\right)\oplus Z_{f}\left(u\right)\).
הוכחה. מהגדרה \(\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\) הוא כפולה של \(\min_{w}\) ושל \(\min_{u}\) ומכאן שהוא מאפס את \(w\) ו-\(u\) וממילא גם את \(v\), א"כ \(\min_{v}\mid\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\). מצד שני מתקיים \(0_{V}=\min_{v}\left(f\right)v=\min_{v}\left(f\right)w+\min_{v}\left(f\right)u\) ולכן \(\min_{v}\left(f\right)w=-\min_{v}\left(f\right)u\), ומכאן ש-\(\min_{v}\left(f\right)w\in Z_{f}\left(w\right)\) ו-\(-\min_{v}\left(f\right)u\in Z_{f}\left(u\right)\) ולכן מהנתון ש-\(Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)=\left\{ 0_{V}\right\} \) נקבל שמתקיים \(\min_{v}\left(f\right)w=0_{V}\) ו-\(\min_{v}\left(f\right)u=0_{V}\); ושוב, מתקיים \(\min_{w}\mid\min_{v}\) ו-\(\min_{u}\mid\min_{v}\) ולכן מהגדרת ה-\(\MKlcm\) נובע ש-\(\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\mid\min_{v}\). א"כ \(\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\) ו-\(\min_{v}\) מחלקים זה את זה ושניהם מתוקנים ולכן שווים. נניח ש-\(\gcd\left(\min_{w},\min_{u}\right)=1\), מכאן ש-\(\min_{v}=\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)=\min_{w}\cdot\min_{u}\). ממשפט הממדים ומטענה 2.3 נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\dim\left(Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\right) & =\dim Z_{f}\left(w\right)+\dim Z_{f}\left(u\right)-\dim\left\{ 0_{V}\right\} \\
& =\dim Z_{f}\left(w\right)+\dim Z_{f}\left(u\right)\\
& =\deg\left(\sideset{}{_{w}}\min\right)+\deg\left(\sideset{}{_{u}}\min\right)\\
& =\deg\left(\sideset{}{_{w}}\min\cdot\sideset{}{_{u}}\min\right)=\deg\left(\sideset{}{_{v}}\min\right)=\dim Z_{f}\left(v\right)
\end{align*}\]מצד שני \(v\in Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) ולכן ע"פ משפט 1.3 מתקיים \(Z_{f}\left(v\right)\subseteq Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) ומכאן ש-\(Z_{f}\left(v\right)=Z_{f}\left(w\right)\oplus Z_{f}\left(u\right)\).
טענה 2.19. יהיו \(w,u\in V\) כך שהמרחב \(Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) הוא ציקלי ויהיו \(v_{1},v_{2}\in V\) כך שמתקיים8ממשפט 1.9 נובע שאכן קיים \(v_{2}\) כך ש-\(Z_{f}\left(v_{2}\right)=Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)\).:\[\begin{align*}
Z_{f}\left(v_{1}\right) & =Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\\
Z_{f}\left(v_{2}\right) & =Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)
\end{align*}\]מתקיים גם:\[\begin{align*}
\sideset{}{_{v_{1}}}\min & =\MKlcm\left(\sideset{}{_{w}}\min,\sideset{}{_{u}}\min\right)\\
\sideset{}{_{v_{2}}}\min & =\gcd\left(\sideset{}{_{w}}\min,\sideset{}{_{u}}\min\right)
\end{align*}\]
הוכחה. מהגדרה \(\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\) הוא כפולה של \(\min_{w}\) ושל \(\min_{u}\) ומכאן שהוא מאפס את \(w\) ו-\(u\) ולכן גם את \(Z_{f}\left(v_{1}\right)=Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) וממילא גם את \(v_{1}\), א"כ \(\min_{v_{1}}\mid\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\). מצד שני מהעובדה ש-\(\min_{v_{1}}\) מאפס את \(v_{1}\) תחת \(f\) נובע שהוא מאפס גם את \(Z_{f}\left(v_{1}\right)=Z_{f}\left(w\right)+Z_{f}\left(u\right)\) תחת \(f\) וממילא גם את \(w\) ו-\(u\), א"כ \(\min_{v_{1}}\) מתחלק ב-\(\min_{w}\) וב-\(\min_{u}\) ולכן מהגדרה \(\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\mid\min_{v_{1}}\). א"כ \(\MKlcm\left(\min_{w},\min_{u}\right)\) ו-\(\min_{v_{1}}\) מחלקים זה את זה ושניהם מתוקנים ולכן שווים. \(\min_{w}\) ו-\(\min_{u}\) מאפסים את \(Z_{f}\left(v_{2}\right)=Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)\) תחת \(f\) ובפרט את \(v_{2}\), א"כ \(\min_{w}\) ו-\(\min_{u}\) מתחלקים ב-\(\min_{v_{2}}\) ולכן \(\min_{v_{2}}\mid\gcd\left(\min_{w},\min_{u}\right)\). ממשפט הממדים ומטענה 2.3 נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\deg\left(\MKlcm\left(\sideset{}{_{w}}\min,\sideset{}{_{u}}\min\right)\right) & =\dim Z_{f}\left(v_{1}\right)=\dim Z_{f}\left(w\right)+\dim Z_{f}\left(u\right)-\dim\left(Z_{f}\left(w\right)\cap Z_{f}\left(u\right)\right)\\
& =\deg\left(\sideset{}{_{w}}\min\right)+\deg\left(\sideset{}{_{u}}\min\right)-\deg\left(\sideset{}{_{v_{2}}}\min\right)
\end{align*}\]מצד שני מתקיים:\[
\MKlcm\left(\sideset{}{_{w}}\min,\sideset{}{_{u}}\min\right)=\frac{\min_{w}\cdot\min_{u}}{\gcd\left(\min_{w},\min_{u}\right)}
\]ולכן:\[
\deg\left(\MKlcm\left(\sideset{}{_{w}}\min,\sideset{}{_{u}}\min\right)\right)=\deg\left(\sideset{}{_{w}}\min\right)+\deg\left(\sideset{}{_{u}}\min\right)-\deg\left(\gcd\left(\sideset{}{_{w}}\min,\sideset{}{_{u}}\min\right)\right)
\]ומכאן ש-\(\deg\left(\gcd\left(\min_{w},\min_{u}\right)\right)=\deg\left(\min_{v_{2}}\right)\) ולכן מהעובדה ששניהם מתוקנים נובע שהם שווים (הוכחנו כבר ש-\(\min_{v_{2}}\mid\gcd\left(\min_{w},\min_{u}\right)\)).
2.3 פולינום מינימלי של קבוצה
טענה 2.20. נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(S\subseteq V\) קבוצת וקטורים, קיים פולינום מתוקן \(P\in\MKfield\left[x\right]\) יחיד המאפס את \(S\) תחת \(f\) ומקיים שלכל פולינום \(G\in\MKfield\left[x\right]\) המאפס את \(S\) תחת \(f\) מתקיים \(P\mid G\).
הוכחה. נסמן ב-\(P\) פולינום מתוקן שדרגתו היא הנמוכה ביותר מבין אלו שמאפסים את \(S\) תחת \(f\)9אנו לוקחים פולינום מקבוצת הפולינומים בעלי הדרגה הנומכה ביותר המאפסים את \(S\) תחת \(f\) ומתקנים אותו., ויהי \(G\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום המאפס את \(S\) תחת \(f\). נחלק את \(G\) ב-\(P\) עם שארית: יהיו \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G=Q\cdot P+R\) ו-\(\deg R<\deg P\), מכאן שגם \(R=G-Q\cdot P\) מאפס את \(S\), ולכן מהגדרת \(P\) נובע ש-\(R=0\) ו-\(P\mid G\). היחידות של \(P\) נובעת מהעובדה שגם הוא מתחלק בכל פולינום המקיים את התנאים הנ"ל, ומכיוון שאחד התנאים הוא שהפולינום מתוקן העובדה ששניהם מתחלקים זה בזה אומרת שהם שווים.
טענה 2.21. נניח ש-\(V\) נ"ס ויהיו \(S,T\subseteq V\) ו-\(P\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיים:
\(\min_{v}\mid\min_{S}\) לכל \(v\in S\).
אם \(P\) מאפס את \(V\) תחת \(f\) אז \(\min_{S}\mid P\).
אם \(S\subseteq T\) אז \(\min_{S}\mid\min_{T}\).
\(\min_{v}=\min_{Z_{f}\left(v\right)}\) לכל \(v\in V\).
\(\min_{S}=\min_{\MKspan\left(S\right)}\).
משפט 2.22. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו שמור תחת אופרטור \(f\) ויהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) פולינומים זרים כך ש-\(G\) מאפס את \(W\) תחת \(f\), האופרטור \(P\left(f\right)\mid_{W}\) הפיך.
3 פולינום מינימלי של אופרטור, ערכים עצמיים ואופרטורים הניתנים ללכסון
3.1 הגדרות
תהא \(\left(V,f\right)\) מערכת ליניארית מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 3.1. נאמר שפולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\)מאפס את האופרטור\(f\) אם לכל \(v\in V\) מתקיים \(P\left(f\right)v=0_{V}\).
למה 3.2. אם \(V\) נ"ס אז קיים פולינום מתוקן \(P\in\MKfield\left[x\right]\) יחיד המאפס את \(f\) כך שלכל \(G\in\MKfield\left[x\right]\) המאפס את \(f\) מתקיים \(P\mid G\).
הגדרה 3.3. לאותו \(P\) נקרא הפולינום המינימלי של \(f\) ונסמן אותו ב-\(\mu_{f}\), בנוסף, לכל \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) נגדיר את הפולינום המינימלי של \(A\) להיות הפולינום המינימלי של \(T_{A}\)10כזכור, בקורס הקודם הגדרנו לכל \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) את \(T_{A}\) להיות ההעתקה הליניארית מ-\(\MKfield^{n}\) ל-\(\MKfield^{m}\) המוגדרת ע"י \(T_{A}\left(v\right):=A\cdot v\) (לכל \(v\in V\)). ונסמן אותו ב-\(\mu_{A}\).
\(\clubsuit\)
נשים לב שמתקיים \(\min_{V}^{f}=\mu_{f}\) ולכן הרבה ממה שנאמר על \(\mu_{f}\) נכון גם על הפולינום המינימלי של כל תמ"ו של \(V\) (עם ההתאמות הנדרשות).
\(\clubsuit\)
הדרך הכי פשוטה ליצור אופרטור שאין לו ערכים עצמיים היא סיבוב של המישור (\(\MKreal^{2}\)) בזווית שאינה מתחלקת כפולה שלמה של \(\pi\), ואילו הדרך הכי פשוטה ליצור אופרטור בעל ערכים עצמיים שאינו כפולה של אופרטור הזהות היא שיקוף של המישור סביב ציר סימטריה כלשהו.
\(\clubsuit\)
נשים לב שלכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) מתקיים \(V_{\lambda}=\ker\left(f-\lambda\right)\).
\(\clubsuit\)
מהגדרה אופרטור ניתן ללכסון אם"ם יש לו בסיס של וקטורים עצמיים.
\(\clubsuit\)
היותה של מטריצה לכסינה מקלה עלינו להעלות אותה בחזקה: תהיינה \(A,P,D\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(A\) לכסינה, \(P\) הפיכה ו-\(D=P^{-1}AP\) אלכסונית, א"כ לכל \(m\in\MKnatural\) מתקיים:\[
A^{m}=\left(PDP^{-1}\right)^{m}=\left(PDP^{-1}\right)\cdot\left(PDP^{-1}\right)\cdot\ldots\cdot\left(PDP^{-1}\right)=P\cdot D^{m}\cdot P^{-1}
\]והעלאתה של מטריצה אלכסונית בחזקה היא קלה ונוחה.
\(\clubsuit\)
כמובן שכל ערך עצמי של \(f\) הוא שורש של פולינום מינימלי של וקטור כלשהו (למשל וקטור עצמי מתאים).
\(\clubsuit\)
מכאן שלכל אופרטור על מ"ו מעל \(\MKcomplex\) ניתן להציג את המרחב כסכום ישר של מרחבים עצמיים מוכללים.
\(\clubsuit\)
בהמשך נראה תנאי חמישי: ניתן להציג את \(V\) כסכום של מרחבים עצמיים מוכללים ובנוסף לכל ערך עצמי \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) של \(f\) הריבוי האלגברי שווה לריבוי הגיאומטרי.
\(\clubsuit\)
מעל \(\MKcomplex\) ניתן "לוותר" על התנאי שהפולינומים מתפרקים לגורמים ליניאריים / שניתן להציג את \(V\) כסכום של מרחבים עצמיים מוכללים מפני שכפי שראינו תנאים אלו מתקיימים תמיד מעל המרוכבים.
הגדרה 3.4. נאמר שסקלר \(\lambda\in\MKfield\) הוא ערך עצמי של \(f\) אם קיים \(0_{V}\neq v\in V\) כך ש-\(f\left(v\right)=\lambda\cdot v\), ל-\(v\) כזה נקרא וקטור עצמי עם ערך עצמי \(\lambda\).
הגדרה 3.5. קבוצת הערכים העצמיים של \(f\) תקרא הספקטרום של \(f\) ותסומן ע"י \(\sigma\left(f\right)\).
למה 3.6. לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) נסמן \(V_{\lambda}:=\left\{ v\in V\mid f\left(v\right)=\lambda\cdot v\right\} \) ו-\(V^{\lambda}:=\left\{ \begin{array}{c|c}
v\in V & \exists h\in\MKnatural:\left[\left(f-\lambda\right)^{h}\right]\left(v\right)=0_{V}\end{array}\right\} \); \(V_{\lambda}\) ו-\(V^{\lambda}\) הם תמ"ו של \(V\).
הגדרה 3.7. לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) נקרא ל-\(V_{\lambda}\)מרחב עצמי עם ערך עצמי\(\lambda\) ביחס ל-\(f\) ול-\(V^{\lambda}\) נקרא מרחב עצמי מוכלל עם ערך עצמי\(\lambda\) ביחס ל-\(f\).
הגדרה 3.8. וקטור השייך למרחב עצמי מוכלל עם ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) יקרא וקטור עצמי מוכלל השייך לערך עצמי\(\lambda\).
הגדרה 3.9. נניח ש-\(V\) נ"ס, נאמר ש-\(f\) הוא אופרטור ניתן ללכסון או לכסין אם קיים בסיס \(\MKclb\) של \(V\) כך ש-\(\left[f\right]_{\MKclb}\) היא מטריצה אלכסונית, כמו כן נאמר שמטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) היא מטריצה לכסינה אם קיימת מטריצה אלכסונית הדומה לה.
תהא \(\left(V,f\right)\) מערכת ליניארית מעל לשדה \(\MKfield\).
טענה 3.10. המרחבים העצמיים של \(f\) והמרחבים העצמיים המוכללים שלו הם תמ"וים שמורים תחתיו.
טענה 3.11. נניח ש-\(f\) הפיך (מהגדרה \(0\notin\sigma\left(f\right)\)), לכל \(0\neq\lambda\in\MKfield\) מתקיים \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\Longleftrightarrow\lambda^{-1}\in\sigma\left(f^{-1}\right)\).
טענה 3.12. קבוצת וקטורים שונים מ-\(0_{V}\) שכל אחד מהם שייך למרחב עצמי מוכלל שונה מזה של האחרים היא קבוצה בת"ל, בפרט קבוצת וקטורים עצמיים בעלי ערכים עצמיים שונים זה מזה היא קבוצה בת"ל.
הוכחה. יהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\in\sigma\left(f\right)\) ערכים עצמיים שונים זה מזה (אם אין כאלה אז הטענה טריוויאלית), ויהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{r}\in V\) כך ש-\(v_{i}\in V^{\lambda_{i}}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\). נניח בשלילה שאלו וקטורים תלויים ליניארית, אחד מהווקטורים ניתן להצגה כצר"ל של הווקטורים הנותרים, נניח בהג"כ שזהו \(v_{r}\). יהיו \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}\in\MKnatural\) כך ש-\(\min_{v_{i}}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{i}\right)^{n_{i}}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ונסמן \(P:=\begin{alignedat}{1}\prod_{i=1}^{r-1}\left(x-\lambda_{i}\right)^{n_{i}}\end{alignedat}
\). נשים לב לכך ש-\(P\left(f\right)v_{i}=0_{V}\) לכל \(r-1\geq i\in\MKnatural\) ומכאן ש-\(P\) מאפס תחת \(f\) כל צר"ל של הווקטורים הללו ובפרט \(P\) מאפס תחת \(f\) את \(v_{r}\), א"כ \(\min_{v_{r}}\mid P\) בסתירה לכך ש-\(\lambda_{r}\) הוא שורש של \(\min_{v_{r}}\) ואינו שורש של \(P\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ואלו וקטורים בת"ל.
טענה 3.13. יהי \(0_{V}\neq v\in V\), כל שורש של \(\min_{v}\) הוא ערך עצמי של \(f\).
הוכחה. יהי \(\lambda\in\MKfield\) שורש של \(\min_{v}\) ויהי \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(\min_{v}\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)\cdot Q\left(x\right)\). נסמן \(w:=Q\left(f\right)v\) ומכאן ש-\(\min_{w}\left(x\right)=x-\lambda\), כלומר \(0_{V}=\min_{w}\left(f\right)w=f\left(w\right)-\lambda\cdot w\) ו-\(f\left(w\right)=\lambda\cdot w\).
מסקנה 3.14. אם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז יש ל-\(f\) ערך עצמי ומכאן ש-\(\sigma\left(f\right)\neq\emptyset\) ושל-\(f\) יש תת-מרחב שמור מממד \(1\).
מסקנה 3.15. אם \(\MKfield=\MKreal\) אז יש ל-\(f\) תת-מרחב שמור מממד \(1\) ו/או תת-מרחב שמור מממד \(2\).
נניח ש-\(V\) נ"ס.
טענה 3.16. יהי \(\MKclb:=\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\right)\) בסיס של \(V\), מתקיים:\[
\mu_{f}=\MKlcm\left(\sideset{}{_{b_{1}}}\min,\sideset{}{_{b_{2}}}\min,\ldots,\sideset{}{_{b_{n}}}\min\right)
\]
הוכחה. כל פולינום שמאפס את כל וקטורי הבסיס חייב להתחלק בכל הפולינומים המינימליים שלהם ולכן גם ב-\(\MKlcm\), בפרט \(\mu_{f}\) מוכרח לקיים זאת; מצד שני ה-\(\MKlcm\) הוא כפולה של כל אחד מהפולינומים המינימליים ולכן הוא מאפס כל אחד מווקטורי הבסיס וממילא גם כל צר"ל שלהם כלומר את כל \(V\), מכאן שה-\(\MKlcm\) מתחלק ב-\(\min_{V}=\mu_{f}\) ומכיוון ששניהם מתוקנים הרי שהם שווים.
טענה 3.17. קיים וקטור \(u\in V\) כך ש-\(\mu_{f}=\min_{u}\).
הוכחה. יהי \(\MKclb:=\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\right)\) בסיס של \(V\), נסמן \(u_{1}:=b_{1}\) ונבצע את התהליך האינדוקטיבי שיפורט להלן. לכל \(n>i\in\MKnatural\) נניח ש-\(\min_{u_{i}}=\MKlcm\left(\min_{b_{1}},\min_{b_{2}},\ldots,\min_{b_{i}}\right)\)11עבור \(i=1\) זה אומר ש-\(\min_{u_{1}}=\min_{b_{1}}\). ונסמן:\[\begin{align*}
Q_{i+1} & :=\gcd\left(\sideset{}{_{u_{i}}}\min,\sideset{}{_{b_{i+1}}}\min\right)\\
w_{i+1} & :=Q_{i+1}\left(f\right)b_{i+1}\\
u_{i+1} & :=u_{i}+w_{i+1}
\end{align*}\]ומכאן שמתקיים:\[
\sideset{}{_{w_{i+1}}}\min=\frac{\min_{b_{i+1}}}{\gcd\left(\min_{u_{i}},\min_{b_{i+1}}\right)}
\]א"כ \(\min_{u_{i}}\) ו-\(\min_{w_{i+1}}\) זרים זה לזה ולכן מטענה 2.11 נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\sideset{}{_{u_{i+1}}}\min & =\MKlcm\left(\sideset{}{_{u_{i}}}\min,\sideset{}{_{w_{i+1}}}\min\right)\\
& =\sideset{}{_{u_{i}}}\min\cdot\sideset{}{_{w_{i+1}}}\min\\
& =\frac{\min_{u_{i}}\cdot\min_{b_{i+1}}}{\gcd\left(\min_{u_{i}},\min_{b_{i+1}}\right)}\\
& =\MKlcm\left(\sideset{}{_{u_{i}}}\min,\sideset{}{_{b_{i+1}}}\min\right)\\
& =\MKlcm\left(\MKlcm\left(\sideset{}{_{b_{1}}}\min,\sideset{}{_{b_{2}}}\min,\ldots,\sideset{}{_{b_{i}}}\min\right),\sideset{}{_{b_{i+1}}}\min\right)\\
& =\MKlcm\left(\sideset{}{_{b_{1}}}\min,\sideset{}{_{b_{2}}}\min,\ldots,\sideset{}{_{b_{i+1}}}\min\right)
\end{align*}\]א"כ \(u_{n}\) מקיים \(\min_{u_{n}}=\MKlcm\left(\min_{b_{1}},\min_{b_{2}},\ldots,\min_{b_{n}}\right)=\mu_{f}\) כנדרש.
מסקנה 3.18. סקלר \(\lambda\in\MKfield\) הוא ערך עצמי של \(f\) אם"ם \(\lambda\) הוא שורש של \(\mu_{f}\), במילים אחרות קבוצת השורשים של \(\mu_{f}\) היא בדיוק \(\sigma\left(f\right)\).
מסקנה 3.19. אם \(\mu_{f}\) מתפרק לגורמים ליניאריים אז ניתן להציג את \(V\) כסכום ישר של מרחבים עצמיים מוכללים.
הוכחה. נניח ש-\(\mu_{f}\) מתפרק לגורמים ליניאריים, יהי \(\MKclb:=\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\right)\) יהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\in\MKfield\) כל השורשים של \(f\). לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(r\geq j\in\MKnatural\) נסמן ב-\(k_{ij}\) היא החזקה הגבוהה ביותר שבה מחלק \(x-\lambda_{j}\) את \(\min b_{i}\), נגדיר:\[\begin{align*}
Q_{ij} & :=\frac{\min_{b_{i}}}{\left(x-\lambda_{j}\right)^{k_{ij}}}\\
w_{ij} & :=Q_{ij}\left(f\right)b_{i}
\end{align*}\]ונקבל ש-\(Z_{f}\left(w_{ij}\right)\subseteq V^{\lambda_{j}}\) וממילא גם (לכל \(r\geq j\in\MKnatural\)):\[
Z_{f}\left(w_{1j}\right)+Z_{f}\left(w_{2j}\right)+\ldots+Z_{f}\left(w_{nj}\right)\subseteq V^{\lambda_{j}}
\]ראינו שמתקיים (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(r\geq j\in\MKnatural\)):\[
Z_{f}\left(b_{i}\right)=Z_{f}\left(w_{i1}\right)\oplus Z_{f}\left(w_{i2}\right)\oplus\ldots\oplus Z_{f}\left(w_{ir}\right)
\]כמובן שמתקיים:\[
V=\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{r}Z_{f}\left(w_{ij}\right)=\sum_{j=1}^{r}\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ij}\right)
\]ראינו שקבוצת וקטורים שונים מ-\(0_{V}\) שכל אחד מהם שייך למרחב עצמי מוכלל שונה מזה של האחרים היא קבוצה בת"ל, מכאן שמתקיים:\[
V=\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{i1}\right)\oplus\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{i2}\right)\oplus\ldots\oplus\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ir}\right)
\]כעת נטען שלכל \(r\geq j\in\MKnatural\) מתקיים \(\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ij}\right)=V^{\lambda_{j}}\), יהיו \(r\geq k\in\MKnatural\) ו-\(u\in V^{\lambda_{j}}\). יהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{r}\in V\) ו-\(a_{1},a_{2},\ldots,a_{r}\in\MKfield\) כך ש-\(v_{j}\in\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ij}\right)\) לכל \(r\geq j\in\MKnatural\) ומתקיים:\[
u=\sum_{j=1}^{n}a_{j}\cdot v_{j}
\]\[
\Rightarrow0_{V}=\sum_{j=1}^{k-1}a_{j}\cdot v_{j}+\left(a_{k}\cdot v_{k}-u\right)+\sum_{j=k+1}^{r}a_{k}\cdot v_{k}
\]כפי שראינו הקבוצה \(\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{k-1},a_{k}\cdot v_{k}-u,v_{k+1},\ldots v_{r}\right\} \) היא קבוצה בת"ל משום שהיא קבוצת וקטורים שונים מ-\(0_{V}\) שכל אחד מהם שייך למרחב עצמי מוכלל שונה מזה של האחרים, מכאן ש-\(a_{j}=0\) לכל \(r\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(j\neq k\), כלומר \(u=a_{k}\cdot v_{k}\in\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ik}\right)\) ומכיוון ש-\(u\) ו-\(k\) היו שרירותיים זה אומר ש-\(\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ij}\right)\supseteq V^{\lambda_{j}}\) וממילא \(\sum_{i=1}^{n}Z_{f}\left(w_{ij}\right)=V^{\lambda_{j}}\).
טענה 3.20. התנאים הבאים שקולים:
\(f\) לכסין.
קיים בסיס \(\MKclb\) של \(V\) שבו כל וקטור הוא וקטור עצמי.
לכל \(0_{V}\neq v\in V\) הפולינום \(\min_{v}\) מתפרק לגורמים ליניאריים שונים (ללא חזקות גדולות מ-\(1\)).
הפולינום המינימלי של \(f\) (\(\mu_{f}\)) מתפרק לגורמים ליניאריים שונים.
ניתן להציג את \(V\) כסכום של מרחבים עצמיים מוכללים ובנוסף לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) מתקיים \(V_{\lambda}=V^{\lambda}\).
טענה 3.21. יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום מתוקן ותהא \(C_{P}\in M_{\deg P}\left(\MKfield\right)\) המטריצה המלווה של \(P\), מתקיים \(\mu_{C_{P}}=P\).
הוכחה. מהגדרה הפולינום המינימלי של \(e_{1}\) תחת \(C_{P}\) הוא \(P\) ומכיוון שהוא מתוקן, מחלק את \(\mu_{C_{P}}\) ודרגתו שווה לממד המרחב הוא מוכרח להיות שווה ל-\(\mu_{C_{P}}\).
4 צורת ז'ורדן
4.1 הגדרות
תהא \(\left(V,g\right)\) מערכת ליניארית מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 4.1. נאמר ש-\(g\) הוא אופרטור נילפוטנטי אם קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(g^{n}=0\) (\(g^{n}\) היא העתקת האפס).
הגדרה 4.2. אם \(g\) נילפוטנטי אז קיים \(h\in\MKnatural\) מינימלי המקיים \(g^{h}=0\), \(h\) כזה יקרא הגובה של \(g\) ויסומן ב-\(\text{height}\left(g\right)\); כמו כן אם \(g\) נילפוטנטי אז לכל \(v\in V\) קיים \(h\in\MKnatural\) מינימלי כך ש-\(g^{h}\left(v\right)=0_{V}\), \(h\) כזה יקרא הגובה של \(v\) ויסומן ע"י \(\text{height}\left(v\right)\).
\(\clubsuit\)
מהגדרה לכל \(v\in V\) מתקיים \(\text{height}\left(v\right)\leq\text{height}\left(g\right)\) ושאם \(h=\text{height}\left(v\right)\) אז \(\MKclc_{g}\left(v\right)=\left(v,g\left(v\right),g^{2}\left(v\right),\ldots,g^{h}\left(v\right)\right)\), מכאן שאם \(V\) נ"ס אז מתקיים גם \(\text{height}\left(g\right)\leq\dim V\).
\(\clubsuit\)
נשים לב שאם \(h=\text{height}\left(v\right)\) אז \(\min_{v}\left(x\right)=x^{h}\) ושאם \(h=\text{height}\left(g\right)\) אז \(\mu_{g}\left(x\right)=x^{h}\).
\(\clubsuit\)
נשים לב שאם \(h=\text{height}\left(v\right)\) ו-\(w:=\sum_{k=j}^{h-1}a_{k}\cdot g^{k}\left(v\right)\) (כאשר \(a_{j}\neq0\)) אז \(\text{height}\left(w\right)=h-j\).
\(\clubsuit\)
בסיס המהווה שרשור של בסיסים ציקליים נקרא בסיס שרשראות.
\(\clubsuit\)
יש המגדירים את בלוקי ז'ורדן בתור המטריצה המשוחלפת לזו שהגדרנו (כך למשל הגדירו בוויקיפדיה), אני מנחש שהסיבה לכך היא שהם מסדרים את הבסיס הציקלי בסדר ההפוך מזה שבו הגדרנו אנחנו כך שבאופרטור נילפוטנטי האיבר האחרון בבסיס הציקלי מועתק לזה שלפניו וכן הלאה עד שהראשון מועתק ל-\(0\).
\(\clubsuit\)
בקובץ הטענות אנחנו נראה ששתי מטריצות ז'ורדן הן דומות אם"ם הן זהות עד כדי שינוי סדר הבלוקים, א"כ לכל מטריצה יש לכל היותר מטריצת ז'ורדן אחת (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) וכך ניתן לקבוע באופן חד משמעי אם שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.
\(\clubsuit\)
לפני שנתחיל נסביר את הרעיון מאחורי צורת ז'ורדן: אנו רוצים לייצג כל אופרטור במטריצה פשוטה ככל האפשר כדי שיהיה ברור כיצד הוא פועל על המרחב, ובצורה יחידה כדי שנוכל לקבוע באופן מוחלט אם שתי מטריצות דומות זו לזו. הדרך לעשות זאת היא לפרק את המרחב לסכום ישר של תמ"וים שבכל אחד מהם אנו יודעים כיצד לייצג את האופרטור12כשהו מצומצם לאותו תמ"ו. ע"י מטריצה פשוטה, ואז מכיוון שמדובר בסכום ישר נוכל לשרשר את הבסיסים ולקבל בסיס של המרחב כולו כך שהמטריצה המייצגת של האופרטור בבסיס זה היא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים13חשוב מאד להבין למה העובדה שמדובר בסכום ישר אומרת שהמטריצה המייצגת אלכסונית לפי בלוקים, זהו לב העניין. שבה כל בלוק הוא אחת המטריצות הפשוטות שכבר מצאנו; הצורה הפשוטה הזו היא מה שקראנו לו בקובץ ההגדרות בשם "צורת ז'ורדן" של האופרטור וכל בלוק במטריצה הזו הוא מה שקראנו לו "בלוק ז'ורדן אלמנטרי".
הגדרה 4.3. נניח ש-\(g\) הוא אופרטור נילפוטנטי ויהי \(v\in V\) ונסמן \(h:=\text{height}\left(v\right)\), הבסיס הציקלי \(\MKclc_{g}\left(v\right)\) נקרא שרשרת באורך \(h\)14ראינו גם את השם "\(h\)-שרשרת" שאינו נכון מבחינה לשונית..
הגדרה 4.5. מטריצה \(J\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) תקרא מטריצת ז'ורדן אם היא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים וכל בלוק ז'ורדן שלה הוא בלוק ז'ורדן אלמנטרי. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, נאמר שמטריצת ז'ורדן \(J\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) היא צורת ז'ורדן של \(A\) אם \(J\) דומה ל-\(A\), כמו כן, בהינתן אופרטור \(f\) ש-\(A\) היא מטריצה מייצגת שלו בבסיס \(\MKclb\) נאמר ש-\(J\) היא צורת ז'ורדן של \(f\) וש-\(\MKclb\) הוא בסיס מז'רדן של \(f\).
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
4.2 קיום של בסיס מז'רדן וצורת ז'ורדן
יהי \(g\) אופרטור נילפוטנטי על \(V\).
טענה 4.6. יהי \(0_{V}\neq v\in V\), המטריצה המייצגת של \(g\mid_{Z_{g}\left(v\right)}\) בבסיס \(\MKclc_{g}\left(v\right)\) היא \(J_{h}\left(0\right)\) כאשר \(h:=\text{height}\left(v\right)\).
\(\clubsuit\)
כלומר המטריצה המייצגת של \(g\mid_{Z_{g}\left(v\right)}\) בבסיס \(\MKclc_{g}\left(v\right)\) היא מטריצה מהצורה:\[
\left[g\mid_{Z_{g}\left(v\right)}\right]_{\MKclc_{g}\left(v\right)}=\left[\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 1 & 0 & \ddots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0
\end{array}\right]
\]במטריצה כזו ברור מאד כיצד \(g\) פועלת על \(Z_{g}\left(v\right)\): האיבר הראשון בבסיס מועתק אל האיבר השני, השני מועתק לשלישי וכך הלאה עד שהאחרון מועתק אל וקטור האפס.
\(\clubsuit\)
כלומר המטריצה המייצגת של \(g\mid_{Z_{g}\left(v\right)}\) בבסיס \(\MKclc_{g}\left(v\right)\) היא מטריצה מהצורה:\[
\left[f\mid_{Z_{g}\left(v\right)}\right]_{\MKclc_{g}\left(v\right)}=\left[\begin{array}{cccccc}
\lambda & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \lambda & 0 & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 1 & \lambda & \ddots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \lambda
\end{array}\right]
\]גם במטריצה כזו ברור מאד כיצד \(f\) פועלת על \(Z_{g}\left(v\right)\): כל וקטור \(v_{i}\) בבסיס מועתק אל הווקטור \(\lambda\cdot v_{i}+v_{i+1}\) (כשאר \(v_{i+1}\) הוא הווקטור הבא בבסיס) מלבד הווקטור האחרון בבסיס שמוכפל ב-\(\lambda\) מבלי להוסיף לו וקטור אחר.
\(\clubsuit\)
מכאן שאם \(V\) נ"ס אז יש לו בסיס שרשראות משום שאם \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) הוא בסיס של \(V\) אז מתקיים:\[
V=\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right)\right)
\]
\(\clubsuit\)
סדרת הגבהים \(\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{r}\right)\) (כשהיא מסודרת בסדר יורד) נקראת המציין (Segre) של \(g\).
\(\clubsuit\)
בהמשך נראה שאם \(\mu_{f}\) אינו מתפרק לגורמים ליניאריים אז אין ל-\(f\) צורת ז'ורדן.
\(\clubsuit\)
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKreal\right)\subseteq M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) ותהא \(J\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) צורת ז'ורדן של \(A\) ונניח שכל הקואורדינטות של \(J\) ממשיות (\(J\in M_{n}\left(\MKreal\right)\)), האם זה אומר שיש ל-\(A\) צורת ז'ורדן מעל הממשיים? לכאורה התשובה שלילית: העובדה ש-\(J\) דומה ל-\(A\) ב-\(M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) (איננו יודעים יותר מזה) אומרת רק שקיימת מטריצה \(P\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) כך ש-\(P^{-1}AP=J\), היא לא אומרת שאותה \(P\) ממשית גם היא - אפילו אם \(J\) ממשית; הסיבה לכך שבמפתיע התשובה חיובית נעוצה במתמטיקה גבוהה מזו שלמדנו, אין לי מושג למה זה נכון אבל מצאתי את המשפט הזה בערך "דמיון מטריצות" בוויקיפדיה.
מסקנה 4.7. יהיו \(0_{V}\neq v\in V\), \(\lambda\in\MKfield\) ו-\(f\in\MKend\left(V\right)\) כך ש-\(g=f-\lambda\), המטריצה המייצגת של \(f\mid_{Z_{g}\left(v\right)}\) בבסיס \(\MKclc_{g}\left(v\right)\) היא \(J_{h}\left(\lambda\right)\) כאשר \(h:=\text{height}\left(v\right)\).
משפט 4.8. תהא \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{s}\right)\) סדרת וקטורים שונים מאפס ב-\(V\) ותהא \(\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{s}\right)\) סדרת הגבהים המתאימים, הסדרה \(\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{s}\right)\right)\)16הסימן "נקודה ופסיק" ("\(;\)") משמש לציון שמדובר בשרשור של סדרות, כלומר זוהי סדרת וקטורים ולא סדרה של סדרות וקטורים. בת"ל אם"ם הסדרה \(\left(g^{h_{1}-1}\left(v_{1}\right),g^{h_{2}-1}\left(v_{2}\right),\ldots,g^{h_{s}-1}\left(v_{s}\right)\right)\) בת"ל, כלומר סדרת השרשראות בת"ל אם"ם סדרת האיברים האחרונים בכל שרשרת בת"ל.
הוכחה. כל סדרה בת"ל מקיימת שכל תת-סדרה שלה היא בת"ל ולכן הכיוון הראשון של המשפט טריוויאלי, נוכיח את הכיוון השני. נניח שהסדרה \(\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{s}\right)\right)\) תלויה ליניארית ויהיו \(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in V\) כך ש-\(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\right)\) היא הסדרה הנ"ל, מתלות הליניארית נובע שקיים צר"ל מתאפס לא טריוויאלי של איברי הסדרה, יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}=0_{V}\) הוא צר"ל כזה ונסמן \(h:=\max\left\{ \text{height}\left(w_{i}\right)\mid a_{i}\neq0,\ n\geq i\in\MKnatural\right\} \). נפעיל את \(g^{h-1}\) על שני האגפים, מתקיים:\[
0_{V}=g^{h-1}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot g^{h-1}\left(w_{i}\right)
\]באגף שמאל מופיע לפחות וקטור אחד שהמקדם שלו שונה מאפס והוא עצמו אינו וקטור האפס - זהו הווקטור ש-\(h\) הוא הגובה שלו, מכאן שקיים לפחות עוד וקטור אחד כזה ומהגדרת \(h\) נובע שכל הווקטורים הללו מופיעים בסדרת האיברים האחרונים בכל שרשרת, א"כ סדרה זו תלויה ליניארית. הוכחנו שאם סדרת השרשראות תלויה ליניארית אז גם סדרת האיברים האחרונים בכל שרשרת תלויה ליניארית ולכן אם סדרת האיברים האחרונים בת"ל אז גם סדרת השרשראות כזו.
משפט 4.9. תהא \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים שונים מאפס, קיימת סדרת שרשראות \(\left(\MKclb_{1};\MKclb_{2};\ldots;\MKclb_{s}\right)\) בת"ל כך שמתקיים:\[
\MKspan\left(\MKclb_{1};\MKclb_{2};\ldots;\MKclb_{s}\right)=\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right)\right)
\]
הוכחה. נניח ש-\(\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right)\right)\) תלויה ליניארית (אחרת סיימנו ואין מה להוכיח שהרי זוהי סדרת שרשראות). ננמק באינדוקציה על סכום אורכי השרשראות. בסיס האינדוקציה אם סכום זה הוא \(1\) אז מדובר בשרשרת אחת באורך \(1\) המכילה וקטור יחיד שונה מ-\(0\) וממילא מדובר בסדרה בת"ל17למעשה בסיס האינדוקציה כלול במקרה הקודם.. צעד האינדוקציה מספיק להראות שנוכל להקטין את סכום אורכי השרשראות (ע"י "ויתור" על שרשרת או החלפתה בשרשרת קצרה יותר) תוך שמירה על הפרוש שלהן. מהמשפט הקודם (4.3) ומההנחה נובע ש-\(\left(g^{h_{1}-1}\left(v_{1}\right),g^{h_{2}-1}\left(v_{2}\right),\ldots,g^{h_{s}-1}\left(v_{n}\right)\right)\) תלויה ליניארית, יהי \(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot g^{h_{i}-1}\left(v_{i}\right)\) צר"ל מתאפס לא טריוויאלי של סדרה זו (למעשה קיימים שני אינדקסים שהמקדם שלהם שונה מ-\(0\)). יהי \(n\geq j\in\MKnatural\) האינדקס המקיים \(h_{j}=\min\left\{ h_{i}\mid a_{i}\neq0,\ n\geq i\in\MKnatural\right\} \).\[
\Rightarrow g^{h_{j}-1}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot g^{h_{i}-h_{j}}\left(v_{i}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot g^{h_{i}-1}\left(v_{i}\right)=0_{V}
\]נגדיר:\[
{\color{blue}v'}:=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot g^{h_{i}-h_{j}}\left(v_{i}\right)=a_{1}\cdot g^{h_{1}-h_{j}}\left(v_{1}\right)+a_{2}\cdot g^{h_{2}-h_{j}}\left(v_{2}\right)+\ldots+{\color{red}a_{j}\cdot v_{j}}+\ldots+a_{n}\cdot g^{h_{n}-h_{j}}\left(v_{n}\right)
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow{\color{red}v_{j}}={\color{red}\frac{1}{a_{j}}}\cdot\left(a_{1}\cdot g^{h_{1}-h_{j}}\left(v_{1}\right)+a_{2}\cdot g^{h_{2}-h_{j}}\left(v_{2}\right)+\ldots+a_{n}\cdot g^{h_{n}-h_{j}}\left(v_{n}\right){\color{blue}-v'}\right)\\
& \Rightarrow v_{j}\in\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots\MKclc_{g}\left(v_{j-1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{j+1}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right),v'\right)\\
& \Rightarrow\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{j}\right)\right)\subseteq\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots\MKclc_{g}\left(v_{j-1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{j+1}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right),\MKclc_{g}\left(v'\right)\right)\\
& \Rightarrow\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right)\right)=\MKspan\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots\MKclc_{g}\left(v_{j-1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{j+1}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{n}\right),\MKclc_{g}\left(v'\right)\right)
\end{align*}\]השרשרת \(\MKclc_{g}\left(v'\right)\)18אם \(v'=0_{V}\) אז מדובר בשרשרת ריקה ואנחנו פשוט "נוותר" על השרשרת של \(v_{j}\) מבלי להוסיף שרשרת אחרת. בהכרח קצרה יותר מ-\(\MKclc_{g}\left(v_{j}\right)\) ולכן הוכחנו את הדרוש.
נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{r}\right)\) סדרת וקטורים שונים מאפס כך ששרשור הבסיסים הציקליים שלהם הוא בסיס של \(V\) וסדרת הגבהים המתאימה \(\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{r}\right)\) מקיימת \(h_{1}\geq h_{2}\geq\ldots\geq h_{r}\)19מהגדרה מתקיים \(h_{1}+h_{2}+\ldots+h_{r}=\dim V\).. נסמן:\[
\MKclb:=\left(\MKclc_{g}\left(v_{1}\right);\MKclc_{g}\left(v_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g}\left(v_{r}\right)\right)
\]
מסקנה 4.12. יהי \(f\) אופרטור על \(V\) כך ש-\(\mu_{f}\) מתפרק לגורמים ליניאריים, ויהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\in\MKfield\) כל הערכים העצמיים של \(f\). נסמן ב-\(g_{i}\) את \(f-\lambda_{i}\) (לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)), מהגדרה \(g_{i}\) הוא אופרטור נילפוטנטי על \(V^{\lambda_{i}}\) ולכן לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) יש ל-\(f_{i}\) בסיס מז'רדן עבור \(V^{\lambda_{i}}\) (וכל זה לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)). שרשור הבסיסים הללו מהווה בסיס של \(V\) ולכן הוא מהווה בסיס מז'רדן של \(f\), כלומר יש ל-\(f\) צורת ז'ורדן.
מסקנה 4.13. לכל מטריצה מעל \(\MKcomplex\) יש צורת ז'ורדן, וכמו כן לכל אופרטור על מ"ו מעל \(\MKcomplex\) יש צורת ז'ורדן.
4.3 אלגוריתם למציאת בסיס מז'רדן וצורת ז'ורדן
נניח ש-\(V\) נ"ס.
אלגוריתם למציאת צורת ז'ורדן במרחב ציקלי
יהי \(0_{V}\neq v\in V\) ויהי \(f\) אופרטור על \(V\) כך ש-\(\min_{v}^{f}\) מתפרק לגורמים ליניאריים. יהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\in\MKfield\) ו-\(h_{1},h_{2},\ldots,h_{r}\in\MKnatural\) כך שמתקיים:\[
\sideset{}{_{v}^{f}}\min\left(x\right)=\prod_{i=1}^{r}\left(x-\lambda_{i}\right)^{h_{i}}
\]
נסמן \(\MKclb:=\left(\MKclc_{g_{1}}\left(w_{1}\right);\MKclc_{g_{2}}\left(w_{2}\right);\ldots;\MKclc_{g_{s}}\left(w_{r}\right)\right)\), \(\MKclb\) הוא בסיס שרשראות של \(Z_{f}\left(v\right)\) המקיים (לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)):\[
\left[g_{i}\mid_{Z_{g_{i}}\left(w_{i}\right)}\right]_{\MKclc_{g_{i}}\left(w_{i}\right)}=J_{h_{i}}\left(\lambda_{i}\right)
\]ולכן גם:\[
\left[f\mid_{Z_{f}\left(v\right)}\right]_{\MKclb}=\left[\begin{array}{c|c|c|c}
J_{h_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \cdots & 0\\
\hline 0 & J_{h_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \cdots & 0\\
\hline 0 & 0 & \ddots & 0\\
\hline 0 & 0 & \cdots & J_{h_{r}}\left(\lambda_{r}\right)
\end{array}\right]
\]כלומר \(\MKclb\) הוא בסיס מז'רדן של \(f\mid_{Z_{f}\left(v\right)}\) וזוהי צורת ז'ורדן שלה.
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך ש-\(Z_{g_{i}}\left(w_{i}\right)=V^{\lambda_{i}}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\), נקודה זו חשובה להבנת האלגוריתם הכללי של מציאת צורת ז'ורדן (לאו דווקא במרחבים ציקליים).
אלגוריתם כללי למציאת צורת ז'ורדן
יהי \(f\) אופרטור על \(V\) ויהי \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) בסיס של \(V\).
נמצא את הפולינום המינימלי של \(v_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
אם בפירוק לגורמים של אחד מהם מופיע פולינום שאינו ליניארי אז \(\mu_{f}\) אינו מתפרק לגורמים ליניאריים ולכן אין ל-\(f\) צורת ז'ורדן (עוד לא הוכחנו זאת).
אחרת נוכל למצוא בסיס שרשראות של \(Z_{f}\left(v_{i}\right)\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)) ע"י האלגוריתם הקודם.
כעת אנו יודעים בדיוק כיצד נראה \(\mu_{f}\) ולכן גם \(\sigma\left(f\right)\) ידועה לנו, יהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\in\MKfield\) כל הערכים העצמיים של \(f\).
נסמן \(V_{i}:=Z_{f}\left(v_{i}\right)\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ), וכמו כן נסמן ב-\(V_{i}^{\lambda_{j}}\) את המרחב העצמי המוכלל בעל ערך עצמי \(\lambda_{j}\) של \(f\mid_{V_{i}}\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(r\geq j\in\MKnatural\)).
לכל \(r\geq j\in\MKnatural\) מתקיים \(V^{\lambda_{j}}=V_{1}^{\lambda_{j}}+V_{2}^{\lambda_{j}}+\ldots+V_{n}^{\lambda_{j}}\) שכן \(V=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}\).
בשלב הקודם ראינו ש-\(V_{i}^{\lambda_{j}}\) מהווה מרחב ציקלי ביחס לאופרטור \(f-\lambda_{j}\) ומצאנו בסיס ציקלי מתאים (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(r\geq j\in\MKnatural\)), כעת יש בידינו קבוצת שרשראות שאיבריהן פורשים את \(V^{\lambda_{j}}\) ולכן נוכל להשתמש בדרך ההוכחה של משפט 4.4 כדי למצוא בסיס שרשראות של \(V^{\lambda_{j}}\) (לכל \(r\geq j\in\MKnatural\)).
האופרטור \(f-\lambda_{j}\) הוא אופרטור נילפוטנטי ב-\(V^{\lambda_{j}}\) ולכן ההצגה של \(f\mid_{V^{\lambda_{j}}}\) בבסיס השרשראות הנ"ל היא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים שבה כל בלוק הוא בלוק ז'ורדן עם ערך עצמי \(\lambda_{j}\) (לכל \(r\geq j\in\MKnatural\)).
נסדר את השרשראות בכל בסיס כזה לפי גודל השרשראות בסדר יורד ונשרשר את הבסיסים זה לזה, מכיוון ש-\(V\) הוא סכום ישר של המרחבים העצמיים שלו התוצאה היא בסיס שרשראות של \(V\) שכאשר מייצגים בו את \(f\) מקבלים מטריצה בצורת ז'ורדן שלה.
4.4 חזקות של בלוקי ז'ורדן אלמנטריים
טענה 4.14. יהיו \(r\in\MKnatural\) ו-\(\lambda\in\MKfield\), מתקיים (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[
\left(J_{r}\left(\lambda\right)\right)^{n}=\left[\begin{array}{cccccc}
\lambda^{n} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
n\cdot\lambda^{n-1} & \lambda^{n} & 0 & 0 & \cdots & 0\\
{n \choose 2}\cdot\lambda^{n-2} & n\cdot\lambda^{n-1} & \lambda^{n} & 0 & \ddots & \vdots\\
{n \choose 3}\cdot\lambda^{n-3} & {n \choose 2}\cdot\lambda^{n-2} & n\cdot\lambda^{n-1} & \lambda^{n} & \ddots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
{n \choose r-1}\cdot\lambda^{n-\left(r-1\right)} & {n \choose r-1}\cdot\lambda^{n-\left(r-2\right)} & \cdots & {n \choose 2}\cdot\lambda^{n-2} & n\cdot\lambda^{n-1} & \lambda^{n}
\end{array}\right]
\]או באופן פורמלי יותר וברור פחות: האיבר בשורה ה-\(i\) ובעמודה ה-\(j\) הוא:\[
\begin{pmatrix}n\\
i-j
\end{pmatrix}\cdot\lambda^{n-\left(i-j\right)}
\]כאשר בכל מקום שהביטוי אינו מוגדר21המקדם הבינומי אינו מוגדר כאשר \(i-j<0\) או כאשר \(i-j>n\), ואם \(i-j>n\) ובנוסף \(\lambda=0\) אז הביטוי אינו מוגדר מסיבה נוספת: לאפס אין הופכי ולכן אי אפשר להגדיר עליו חזקה שלילית. האיבר המדובר הוא \(0\).
\(\clubsuit\)
טענה זו מאפשרת לנו לחשב חזקות של מטריצות בעלות צורות ז'ורדן במהירות יחסית ע"י מעבר לבסיס מז'רדן, העלאה בחזקה של מטריצת ז'ורדן22מכיוון שמטריצת ז'ורדן היא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים העלאתה בחזקה נעשית ע"י העלאת כל אחד מן הבלוקים באותה חזקה בנפרד. המתאימה וחזרה לבסיס המקורי, ממש כפי שעשינו עם מטריצות הניתנות ללכסון.
הוכחה. אינדוקציה פשוטה מראה שלכל \(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\left(J_{r}\left(0\right)\right)^{j}=\left[\begin{array}{c|c}
0_{k\times\left(r-k\right)} & 0_{k\times k}\\
\hline I_{r-k} & 0_{\left(r-k\right)\times k}
\end{array}\right]
\]כאשר במקרה שבו \(k\geq r\) מתקיים זה אומר ש-\(\left(J_{r}\left(0\right)\right)^{k}=0_{r}\). מנוסחת הבינום של ניוטון נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\left(J_{r}\left(\lambda\right)\right)^{n} & =\left(J_{r}\left(0\right)+\lambda\cdot I_{r}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\left(J_{k}\left(0\right)\right)^{j}\cdot\left(\lambda\cdot I_{r}\right)^{n-k}\\
& =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\left(J_{r}\left(0\right)\right)^{k}\cdot\lambda^{n-k}\cdot\left(I_{r}\right)^{n-k}\\
& =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\lambda^{n-k}\cdot\left(J_{r}\left(0\right)\right)^{k}\cdot I_{r}\\
& =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\lambda^{n-k}\cdot\left(J_{r}\left(0\right)\right)^{k}\\
& =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\lambda^{n-k}\cdot\left[\begin{array}{c|c}
0_{k\times\left(r-k\right)} & 0_{k\times k}\\
\hline I_{r-k} & 0_{\left(r-k\right)\times k}
\end{array}\right]
\end{align*}\]כעת יש צורך במעט דמיון חזותי כדי להבין שאכן קיבלנו את התוצאה הרצויה: כל אחד מן האיברים בסכום שאינו מטריצת האפס הוא מטריצה שבה אחד מן האלכסונים זהה לאלה שבטענה ובכל מקום אחר יש בה אפסים, אין שני איברים שבהם מדובר באותו אלכסון ויש איבר לכל אלכסון שאינו אלכסון אפסים במטריצה המופיעה בטענה; א"כ כל מטריצה בסכום קבועת את האלכסון שלה לבדה ואינה "מפריעה" לאחרות בקביעת האלכסונים שלהם, התוצאה היא בדיוק המטריצה המופיעה בטענה.
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מממד \(n\) מעל לשדה \(\MKfield\) ויהא \(f\) אופרטור על \(V\).
טענה. לכל שתי מטריצות דומות \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[
\det\left(\lambda\cdot I_{n}-A\right)=\det\left(\lambda\cdot I_{n}-B\right)
\]
הגדרה 5.1. יהי \(\MKclb\) בסיס של \(V\), הפולינום \(\det\left(x\cdot I_{n}-\left[f\right]_{\MKclb}\right)\)23\(x\cdot I_{n}-\left[f\right]_{\MKclb}\) היא מטריצה ב-\(M_{n}\left(\MKfield\left[x\right]\right)\), כלומר היא מטריצה מעל חוג הפולינומים שמעל \(\MKfield\). נקרא הפולינום האופייני של \(f\) ומסומן ע"י \(\chi_{f}\), כמו כן לכל \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) נגדיר \(\chi_{A}:=\chi_{T_{A}}\)24כזכור \(T_{A}\) היא ההעתקה הליניארית המוגדרת ע"י הכפלת המטריצה בוקטור. ונקרא ל-\(\chi_{A}\)הפולינום האופייני של \(A\).
הגדרה 5.2. אם \(\lambda\in\MKfield\) הוא ערך עצמי של \(f\) אז הריבוי הגאומטרי של \(\lambda\) מוגדר להיות \(\dim V_{\lambda}=\dim\left(\ker\left(f-\lambda\right)\right)\).
הגדרה 5.3. אם \(\lambda\in\MKfield\) הוא ערך עצמי של \(f\) אז הריבוי האלגברי של \(\lambda\) (ביחס ל-\(f\)) הוא הריבוי האלגברי של \(\lambda\) ב-\(\chi_{f}\), כלומר הריבוי האלגברי של \(\lambda\) הוא החזקה של \(x-\lambda\) בפירוק של \(\chi_{f}\) לגורמים.
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מממד \(n\) מעל לשדה \(\MKfield\) ויהא \(f\) אופרטור על \(V\).
טענה 5.4. לכל שתי מטריצות דומות \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[
\det\left(\lambda\cdot I_{n}-A\right)=\det\left(\lambda\cdot I_{n}-B\right)
\]
הוכחה. תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצות דומות, מכאן שגם \(-A\) ו-\(-B\) דומות זו לזו (הכפלה בסקלר משמרת דמיון מטריצות), ולכן גם \(\lambda\cdot I_{n}-A\) ו-\(\lambda\cdot I_{n}-B\) דומות זו לזו (הוספת כפולה של מטריצת היחידה משמרת גם היא דמיון מטריצות), ומכאן ש-\(\det\left(\lambda\cdot I_{n}-A\right)=\det\left(\lambda\cdot I_{n}-B\right)\).
טענה 5.5. קבוצת השורשים של \(\chi_{f}\) היא הספקטרום של \(f\).
הוכחה. לכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) אם"ם \(\ker\left(f-\lambda\right)\neq\left\{ 0_{V}\right\} \) וזה קורה אם"ם \(f-\lambda\) היא העתקה שאינה הפיכה, כלומר אם"ם המטריצה \(\left[f\right]_{\MKclb}-\lambda\cdot I_{n}\) אינה הפיכה (\(\MKclb\) הוא בסיס כלשהו של \(V\)) וזה שקול לכך ש-\(\lambda\cdot I_{n}-\left[f\right]_{\MKclb}\) אינה הפיכה ו-\(\det\left(\lambda\cdot I_{n}-\left[f\right]_{\MKclb}\right)=0\) - כלומר \(\lambda\) הוא שורש של \(f\).
משפט 5.6. יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום מתוקן ותהא \(C_{P}\in M_{\deg P}\left(\MKfield\right)\) המטריצה המלווה של \(P\), מתקיים \(\chi_{C_{P}}=P\).
הוכחה. יהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1}\in\MKfield\) כך ש-\(P\left(x\right)=x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot x^{k}\) ו-\(n:=\deg P\) ונפתח את הדטרמיננטה של המטריצה \(x\cdot I_{n}-C_{P}\) ע"פ העמודה הימנית ביותר (העמודה ה-\(n\)); לכל \(n\geq k\in\MKnatural\) המינור \(\left(x\cdot I_{n}-C_{P}\right)_{k,n}\) הוא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים שבה שני בלוקים: הבלוק השמאלי העליון הוא מטריצה משולשית תחתונה בגודל \(k-1\) שעל האלכסון שלה יש רק \(x\)-ים והבלוק הימני התחתון הוא מטריצה משולשית עליונה בגודל \(n-k\) שעל האלכסונים שלה יש רק \(1\)-ים, א"כ הדטרמיננטות שלהם הן \(x^{k-1}\) ו-\(1^{n-k}\) בהתאמה ולכן הדטרמיננטה של המינור \(\left(C_{P}\right)_{k,n}\) היא \(x^{k-1}\)25הדטרמיננטה של מטריצה אלכסונית לפי בלוקים היא מכפלת הדטרמיננטות ששל בלוקים על האלכסון.. לכל \(n>k\in\MKnatural\) האיבר שבשורה ה-\(k\) בעמודה ה-\(n\) של \(x\cdot I_{n}-C_{P}\) הוא \(a_{k-1}\) ואילו האיבר שבשורה ה-\(n\) בעמודה ה-\(n\) הוא \(x+a_{n-1}\).\[\begin{align*}
\Rightarrow\det\left(x\cdot I_{n}-C_{P}\right) & =\left(x+a_{n-1}\right)\cdot\det\left(\left(C_{P}\right)_{n,n}\right)+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k-1}\cdot\det\left(\left(C_{P}\right)_{k,n}\right)\\
& =\left(x+a_{n-1}\right)\cdot x^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k-1}\cdot x^{k-1}\\
& =x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\sum_{k=0}^{n-2}a_{k}\cdot x^{k}\\
& =x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot x^{k}=P\left(x\right)
\end{align*}\]
משפט 5.7. יהי \(\left\{ 0_{V}\right\} \neq W\subseteq V\) תמ"ו שמור תחת \(f\) ונגדיר \(g:=f\mid_{W}\), מתקיים \(\chi_{g}\mid\chi_{f}\).
הוכחה. ניקח בסיס של \(W\) ונרחיב אותו לבסיס \(\MKclb\) של \(V\), נזכור שהדטרמיננטה של מטריצה משולשית (עליונה/תחתונה) לפי בלוקים היא מכפלת הדטרמיננטות של הבלוקים שעל האלכסון ומכאן שהדטרמיננטה של הבלוק המתאים ל-\(W\) (במטריצה \(x\cdot I_{n}-\left[f\right]_{\MKclb}\)) היא \(\chi_{g}\) ולכן \(\chi_{g}\cdot Q=\chi_{f}\) כאשר \(Q\) הוא "הדטרמיננטה" של הבלוק האחר (כלומר הפולינום האופייני של הבלוק האחר).
טענה 5.8. יהי \(0_{V}\neq v\in V\) ונסמן \(W:=Z_{f}\left(v\right)\) ו-\(g:=f\mid_{W}\), מתקיים \(\chi_{g}=\min_{v}^{f}\).
הוכחה. המטריצה המייצגת של \(g\) בבסיס \(\MKclc_{f}\left(v\right)\) היא המטריצה המלווה של \(\min_{v}^{f}\), מצד שני ע"פ משפט 5.3 זוהי גם המטריצה המלווה של \(\chi_{g}\) ולכן הם שווים.
מסקנה 5.9. משפט קיילי-המילטון26ערכים בוויקיפדיה: ארתור קיילי וויליאם רואן המילטון. מתקיים \(\chi_{f}\left(f\right)=0\) ו-\(\chi_{A}\left(A\right)=0\) (לכל \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\)).
הוכחה. יהי \(v\in V\), נניח בהג"כ ש-\(v\neq0_{V}\) (אחרת ודאי ש-\(\chi_{f}\left(f\right)v=0_{V}\)) ונסמן ב-\(g\) את הצמצום של \(f\) ל-\(Z_{f}\left(v\right)\). ע"פ הטענה האחרונה (5.5) \(\chi_{g}\) מאפס את \(v\) תחת \(f\) וע"פ המשפט האחרון (5.4) נובע מזה שגם \(\chi_{f}\) מאפס את \(v\) תחת \(f\). \(v\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ" לנכון לכל \(v\in V\) וממילא \(\chi_{f}\left(f\right)=0\)27כל מטריצה ריבועית היא אופרטור ולכן אין צורך בהוכחה נפרדת..
טענה 5.10. יהי \(J:=J_{h}\left(\lambda\right)\in M_{h}\left(\MKfield\right)\) בלוק ז'ורדן אלמנטרי מסדר \(h\) בעל ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\), מתקיים \(\chi_{J}\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^{h}\).
כלומר אם לאופרטור יש צורת ז'ורדן אז הפולינום האופייני שלו מתפרק לגורמים ליניאריים.
\(\clubsuit\)
נשים לב שלכל ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) של \(f\) החזקה של \(x-\lambda\) בפירוק של \(\mu_{f}\) לגורמים היא אורך השרשרת הארוכה ביותר בבסיס השרשראות של \(V^{\lambda}\) (ששווה לגודל בלוק ז'ורדן האלמנטרי הגדול ביותר בעל ערך עצמי \(\lambda\)).
\(\clubsuit\)
מכאן שגם הפולינום המינימלי של \(f\) מתפרק לגורמים ליניאריים, והדבר נכון לכל אופרטור שיש לו צורת ז'ורדן.
\(\clubsuit\)
מכאן נובע ש-\(f\) לכסין אם"ם יש ל-\(f\) צורת ז'ורדן (כלומר ניתן להציג את \(V\) כסכום ישר של מרחבים עצמיים מוכללים) ובנוסף לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) הריבוי האלגברי של \(\lambda\) שווה לזה הגאומטרי.
\(\clubsuit\)
נניח של-\(f\) יש צורת ז'ורדן, כפי שראינו ניתן לקבוע אם \(f\) לכסין ומהם הערכים העצמיים שלו ע"י \(\mu_{f}\) ו-\(\chi_{f}\); נניח ש-\(f\) לכסין ונרצה למצוא את הצורה האלכסונית שלו ו/או בסיס מלכסן, כדי לבצע זאת נפעל ע"פ השלבים הבאים:
יש לנו כבר את \(\chi_{f}\) שכן על פיו קבענו ש-\(f\) לכסין (אם קבענו בדרך אחרת אז יש לחשב אותו), א"כ אנחנו יודעים מהם הערכים העצמיים של \(f\) אך יותר מזה - מספר ההופעות של כל אחד מהם בצורה האלכסונית הוא הריבוי האלגברי שלו ב-\(\chi_{f}\) - לכן כבר עכשיו אנחנו יודעים בדיוק איך נראית הצורה האלכסונית של \(f\) (עוד לפני שמצאנו בסיס מלכסן), נסמן אותה ב-\(D\).
לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) נמצא בסיס ל-\(V_{\lambda}=\ker\left(f-\lambda\right)\) ע"י מציאת בסיס למרחב הפתרונות של הממ"ל:\[
0=\left(\left[f\right]_{\MKclb}-\lambda\cdot I_{n}\right)\cdot x
\](כאשר \(\MKclb\) הוא בסיס כלשהו של \(V\)) וחילוץ הווקטורים המתאימים ב-\(V\) (כל וקטור בבסיס של מרחב הפתרונות הוא וקטור קואורדינטות של וקטור ב-\(V\) ע"פ הבסיס \(\MKclb\)).
נשרשר את הבסיסים זה לזה ונקבל בסיס מלכסן.
הוכחה. הטענה נובעת ישירות מהעובדה שהדטרמיננטה של מטריצה אלכסונית לפי בלוקים היא מכפלת הדטרמיננטות של הבלוקים על האלכסון.
מסקנה 5.12. לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) הגודל של \(J\left(\lambda\right)\) (ששווה לריבוי האלגברי של \(\lambda\)) הוא \(\dim V^{\lambda}\).
מסקנה 5.13. מתקיים \(\mu_{f}\mid\chi_{f}\) וקבוצות השורשים שלהם שוות.
טענה 5.14. קבוצת האיברים האחרונים בכל שרשרת בבסיס שרשראות של \(V^{\lambda}\) היא בסיס של \(V_{\lambda}\) וזאת לכל ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) של \(f\).
מסקנה 5.15. לכל ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) של \(f\) הריבוי הגאומטרי שווה למספר השרשראות בבסיס שרשראות של \(V^{\lambda}\).
מסקנה 5.16. לכל ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) של \(f\) הריבוי הגאומטרי שלו קטן או שווה מזה האלגברי ומתקיים שוויון אם"ם \(V_{\lambda}=V^{\lambda}\).
5.2 ניתוח אופרטור ע"פ צורת ז'ורדן, הפולינום המינימלי והפולינום האופייני
מאחורי צורת ז'ורדן מסתתר בסיס שרשראות המורכב מבסיסי שרשראות של המרחבים העצמיים המוכללים, כל בלוק ז'ורדן אלמנטרי מייצג שרשרת אחת ולכן:
מספר השרשראות של \(\lambda\) שווה למספר הבלוקים האלמנטריים בעלי ע"ע \(\lambda\) המופיעים בצורת ז'ורדן, במקרה שלנו זה אומר שמספר השרשראות הוא \(s\).
מכיוון שכל שרשרת מכילה בסופה וקטור עצמי ואלו פורשים את \(V_{\lambda}\) נדע ש-\(\dim V_{\lambda}=s\) (וזהו גם הריבוי הגאומטרי של \(\lambda\)).
מכיוון שכל שרשרת היא בגודל של הבלוק המתאים לה ואיחוד השרשראות של \(\lambda\) הוא בסיס של \(V^{\lambda}\) נדע שמתקיים \(\dim V^{\lambda}=h_{1}+h_{2}+\ldots+h_{s}\), כלומר הממד של המרחב העצמי המוכלל שווה לסכום אורכי הבלוקים האלמנטריים (ששווה לגודל של \(J\left(\lambda\right)\)).
מהגדרה, החזקה של \(x-\lambda\) בפירוק של \(\mu_{f}\) לגורמים היא אורך השרשרת הארוכה ביותר בבסיס השרשראות של \(V^{\lambda}\) ולכן זהו גם הגודל הגדול ביותר של בלוק אלמנטרי בעל ערך עצמי \(\lambda\).
ראינו לעיל שהחזקה של \(x-\lambda\) בפירוק של \(\chi_{f}\) לגורמים (הריבוי האלגברי של \(\lambda\)) היא \(\dim V^{\lambda}\) ולכן היא שווה לסכום אורכי הבלוקים האלמנטריים (ששווה לגודל של \(J\left(\lambda\right)\)).
אם נתון לנו \(\mu_{f}\) אנחנו יכולים לדעת מהו הבלוק האלמנטרי הגדול ביותר עבור כל ערך עצמי (כמובן שאנחנו יודעים גם מהו הספקטרום).
אם נתון לנו \(\chi_{f}\) אנחנו יכולים לדעת מהו סכום הגדלים של הבלוקים האלמנטריים של כל ערך עצמי (כמובן שאנחנו יודעים גם מהו הספקטרום).
הממד של \(V_{\lambda}=\ker\left(f-\lambda\right)\) הוא מספר הבלוקים האלמנטריים של \(\lambda\).
מספר הבלוקים האלמנטריים של \(\lambda\) שגודלם הוא גדול או שווה ל-\(k\) הוא \(\dim\left(\ker\left(f-\lambda\right)^{k}\right)-\dim\left(\ker\left(f-\lambda\right)^{k-1}\right)\)28מכל שרשרת שאורכה גדול או שווה ל-\(k\) ישנם \(k\) וקטורים בבסיס של \(\ker\left(f-\lambda\right)^{k}\) ומכל שרשרת שאורכה קצר יותר כל השרשרת מופיעה בבסיס של \(\ker\left(f-\lambda\right)^{k}\), באופן דומה כל שרשרת שאורכה קצר יותר מופיעה בשלמותה בבסיס של \(\ker\left(f-\lambda\right)^{k-1}\) ולכן היא מחוסרת מן החשבון ומכל שרשת שאורכה גדול או שווה ל-\(k\) אנו מחסרים \(k-1\) וקטורים, א"כ נשארנו עם וקטור אחד מכל שרשרת שאורכה גדול או שווה ל-\(k\). לכל \(k\in\MKnatural\) ולכן מספר הבלוקים שגודלם הוא בדיוק \(k\) הוא:\[
2\cdot\dim\left(\ker\left(f-\lambda\right)^{k}\right)-\dim\left(\ker\left(f-\lambda\right)^{k-1}\right)-\dim\left(\ker\left(f-\lambda\right)^{k+1}\right)
\]זו הסיבה לכך ששתי מטריצות ז'ורדן דומות זו לזו אם"ם הן זהות עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
ובכיוון ההפוך:
ארבעת האחרונים יכולים לעזור לנו לקבוע האם מטריצות נתונות דומות זו לזו גם מבלי למצוא את צורת ז'ורדן שלהן, או להפך: ארבעת אלה יכולים לעזור לנו למצוא את צורת ז'ורדן של מטריצה נתונה גם מבלי להפעיל את כל האלגוריתם (שלושת הראשונים מביניהם מגבילים את הקומבינציות האפשריות והאחרון משמש לקביעה מוחלטת במקרה שעוד נותר ספק).
\(\:\)
\(\:\)
לסיכום:
מרחבים
ריבויים
שרשראות בבסיס של \(V^{\lambda}\)
צורת ז'ורדן
פולינומים
\(\dim V_{\lambda}\)
הריבוי הגאומטרי
מספר השרשראות
מספר הבלוקים
-
\(\dim V^{\lambda}\)
הריבוי האלגברי
סכום אורכי השרשראות
הגודל של \(J\left(\lambda\right)\) וסכום אורכי הבלוקים
החזקה ב-\(\chi_{f}\)
-
-
אורך השרשרת הארוכה ביותר
גודל הבלוק האלמנטרי הגדול ביותר
החזקה ב-\(\mu_{f}\)
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );